Бесплатная библиотека - учебники, шпаргалки, кандидатский минимум

Преднаука

Понятие числа

Образования геометрических знаний

Теоретическая математика

В исследованиях по истории науки обычно выделяют две стадии: первую из них называют стадией ее возникновения или преднаукой, а вторую — наукой в собственном смысле слова или развитой наукой. Возникновение науки связано с непосредственными запросами материального производства и повседневной практики людей. Оно сопровождалось появлением первоначальных эмпирических понятий и представлений, которые постепенно приобретали более общий и абстрактный характер. Первые теоретические понятия и системы возникли в рамках древнегреческой математики, но математические методы начали широко применяться для изучения природы только в XVII веке, когда возникло экспериментальное естествознание. Элементарная математика античности, хотя достигла зрелого теоретического уровня, но изучала лишь постоянные величины. Следовательно, она не могла быть использована для изучения зависимостей между переменными величинами. А последние были необходимы для исследования простейшей формы движения — механического перемещения земных и небесных тел. Именно поэтому в ответ на запросы механики и астрономии была создана в XVII веке Ньютоном и Лейбницем математика переменных величин в форме дифференциального и интегрального исчислений.

Синтез новых математических исчислений с экспериментальным методом исследования положил начало классической науке, которая господствовала до начала XX века. Неоклассическая наука стала формироваться в первые десятилетия XX века после создания теории относительности и квантовой механики. В конце прошлого века заговорили о постнеокласической науке. Соответственно этим периодам развития науки, можно в общих чертах приблизительно установить основные стадии эволюции науки.

Преднаука и развитая наука

Преднаука, характерная для стадии возникновения или зарождения науки, в отличие от развитой науки не выходит за рамки существующего материального производства и повседневной практики людей. Она появляется в ответ на простейшие, но настоятельно необходимые запросы хозяйственной жизни людей: счет предметов, измерение площадей земельных участков, объемов тел, знание свойств вещей, необходимых в хозяйстве и т.п. Преднаука основывается на обычных эмпирических наблюдениях и простейших измерениях, хотя и предполагает использование элементарных абстракций и идеализации.

К числу древнейших понятий относятся понятия числа и гео­метрической фигуры, корни которых уходят в глубь веков. Совре­менному человеку кажется, что счет и сравнение совокупностей вещей — или как принято говорить теперь, множеств предметов — с самого начала предполагает существование чисел. Между тем исследования историков, археологов, этнографов и других специалистов показывают, что первобытные племена, на зная чисел, по-своему справлялись со счетом или сравнением множеств животных в стаде, зверей на охоте, заготовленных припасов и т.д.

Каким образом можно было сравнивать и считать такие множества, не владея понятием числа? Чтобы установить эквивалентность или равенство двух стад животных, достаточно было установить, что каждому из животных в одном стаде соответствует одно и только одно животное в другом. Если в одном стаде не хватало для этого животных, то оно считалось меньше другого, а в противном случае другое стадо было больше первого.

На ранних этапах цивилизации для такого сравнения и «счета» можно было использовать пальцы рук или даже ног человека. Однако с дальнейшим развитием хозяйственной жизни и расширени­ем обмена между племенами возникла необходимость выделения некоторого эталонного множества для сравнения большего количества обмениваемых продуктов. В качестве таких эталонов стали использоваться камешки, ракушки и т.п. «счетные» единицы. Пальцы рук, камешки, ракушки и другие объекты во всех этих случаях выступали в качестве конкретной, предметной модели натуральных чисел, с помощью которых современный человек производит счет.

Вероятно, потребовались тысячелетия, прежде чем возникло общее понятие натурального ряда чисел, отвлеченное от конкретных различных ее предметных реализаций или моделей.

Небезынтересно отметить, что такой прием сравнения бесконечных совокупностей объектов впоследствии был использован в абстрактной теории множеств, созданной известным немецким математиком Г. Кантором в последней трети XIX века, хотя отдельные попытки предпринимались и раньше. В качестве иллюстрации сошлемся на попытку Г. Галилея установить количество элементов в бесконечном ряде натуральных чисел и соответствующем ряде квадратов таких чисел. Если каждому натуральному числу поставить в соответствие его квадрат и, наоборот, квадрату — соответствующее натуральное число, то можно убедиться, что эти множества будут эквивалентными. Грубо говоря, эти бесконечные множества будут содержать одинаковое количество чисел, хотя на первый взгляд кажется, что множество натуральных чисел кажется больше множества квадратов этих чисел. Но такое заключение справедливо только для конечных множеств чисел. Для бесконечных же множеств, которые предполагаются неограниченно продолженными, оно ока­зывается неверным, в чем можно убедиться путем сравнения указанных множеств:

1,2,3,4,  5,   ...n,...

1, 4, 9, 16, 25, ...n²...

Понятие натурального числа для конечных множеств, как и трансфинитного числа для бесконечных множеств возникает путем сравнения эквивалентных множеств с помощью абстракции. В обоих случаях оно выражает общее свойство эквивалентных множеств объектов. Но если понятие трансфинитного числа в развитой математической науке можно было создать сравнительно легко, то для образования натурального числа потребовался длительный исторический период развития. Прежде чем люди стали пользоваться отвлеченными числами, им необходимо было научиться абстрагироваться от конкретной природы сравниваемых множеств вещей и выражать их общее количественное свойство с помощью понятия натурального числа.

Представление о натуральном числе было известно еще на стадии преднауки, но дальнейшее его обобщение и применение продвигалось с большим трудом. Переход к теоретической стадии познания в период преднауки тормозилось неразвитостью производительных сил, засильем существующих традиций в обществе, кастовым характером сосредоточения знаний в руках жрецов и правительственных чиновников. Так например, хотя древним египтянам было хорошо известно понятие целого числа, переход к дробям потребовал от них значительных усилий и привел к введению простейших, так называемых натуральных дробей, которые рассматривались как части единицы. Даже древние вавилоняне, считавшиеся виртуозами в области арифметики и владевшие также алгебраическими методами решения уравнений, не смогли подняться до теоретического уровня древнегреческой математики. Еще труднее происходил процесс образования геометрических знаний. Древние греки считали, что геометрия, как прикладная наука, впервые появилась в Египте. Если Аристотель связывал ее возникновение с наличием там свободного времени у жрецов, то Геродот, лучше знавший Египет, обращал внимание на практическую ее необходимость: «когда Нил заливал участок обработанной земли, то с точки зрения обложения нужно было установить, сколько земли было потеряно. — это было, как кажется, начало геометрии, которая оттуда перешла в Грецию». Само название геометрии как учения об измерении земли свидетельствует, о практическом ее происхождении. Практика измерения площадей земельных участков, границы которых периодически смывались разливами Нила, была связана с восстановлением этих границ. Как свидетельствует в приведенной цитате Геродот, это требовало умения определять площади участков с различной геометрической конфигурацией. Поэтому египтяне впервые научились вычислять площади таких геометрических фигур, как прямоугольники, трапеции, треугольники, окружности и другие. Однако эти площади вычислялись чисто эмпирическим способом, хотя при этом использовались также простейшие абстракции. Например, при вычислении площади земельных участков отвлекались от ширины их границ, не учитывались их неровности и т.д. Этот пример показывает, что модели, создаваемые в рамках преднауки, имели чисто прикладной и эмпирический характер, и поэтому не всегда давали точные результаты. Самое же главное отличие таких моделей от научных заключалось в том, что при их построении опирались на привычные эмпирические образы, а не на абстрактные теоретические понятия. Дру­гими словами, построение модели в рамках преднауки основывается на конкретных эмпирических объектах, в то время как научные модели, напротив, начинают создаваться из абстрактных объектов, которые затем проверяются с помощью эмпирических объектов. Тем не менее, на стадии преднауки встречались отдельные случаи, когда исследование начиналось с простейших абстрактных объектов, которым впоследствии находилась эмпирическая интерпретация. Когда древние египтяне оперировали простейшими натураль­ными дробями, а вавилоняне могли решать системы уравнений и извлекать корни, они делали первые шаги по использованию общих абстрактных понятий для образования других понятий. Однако они не владели еще дедуктивными, доказательными способами рассуждений и поэтому не располагали общими методами решения новых задач, а использовали частные методы. В отличие от этого теоретическая математика, опираясь на свои обобщения и исходя из понятия натурального числа, легко справляется с образованием понятий дробных, отрицательных, иррациональных, мнимых и комплексных чисел. Однако применение новых видов чисел и их признание даже в развитой науке наталкивалось в свое время также на сопротивление, о чем свидетельствуют сохранившиеся названия самих чисел, такие, как отрицательные или мнимые числа. Следовательно, на стадии формирования науки создаются простейшие абстракции и конкретные модели, возникающие на основе непосредственного взаимодействия с вещами в хозяйственной практике и повседневной жизни. Такую связь можно обнаружить, например, в создании позиционной системы счисления, общего количества чисел, необходимых для расчетов, которое редко превышало 100 000. Конкретные, вещественные модели для счета использовались еще в донаучный период развития. Древние египтяне, шумеры, вавилоняне и народы других цивилизаций пользовались для счета уже отвлеченными числами.

Таким образом, преднаука занимает промежуточное положение между донаучным и научным знанием. С донаучным познанием ее сближает использование эмпирических представлений и методов познания, которые ограничивают возможности ее чисто логического развития и теоретического обоснования. С научным познанием ее сходство обнаруживается в использовании некоторых приемов и способов исследования, совпадающих с рациональными методами. Однако в отличие от науки преднаука представляет собой лишь стадию перехода к научному, теоретическому знанию. В математике такой переход был достигнут в Древней Греции, хотя после заката греческой цивилизации он не получил дальнейшего развития. В естествознании переход к научному изучению природы произошел лишь в XVII веке, который привел также к возникновению новой математики.